Однородные уравнения и их система: определения, методы решения

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Дифференциальные уравнения 3

1.1. Понятие дифференциального уравнения. 3

1.2 Однородные дифференциальные уравнения. 3

1.3. Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 3

Глава 2. Системы дифференциальных уравнений 3

2.1.Основные понятие системы дифференциальных уравнений 3

2.2. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений 3

2.3. Примеры решения систем однородных дифференциальных уравнений 3

Заключение 3

Список литературы 3

Введение

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики, обладающих рядом особенностей.

Первая особенность – это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. При изучении некоторых явлений реального мира создается их математическая модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, записываются основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с начальными условиями, получают сведения о происходящем явлении. Изучение математической модели математическими методами позволяет получить качественные характеристики физических явлений и

рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса.

На основе анализа дифференциальных уравнений так были открыты электромагнитные волны, и только после экспериментального подтверждения Герцем фактического существования электромагнитных колебаний стало возможным рассматривать уравнения Максвелла как математическую модель реального физического явления.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики; при этом удалось решить задачи, которые в течение долгого времени не поддавались решению.

В небесной механике оказалось возможным не только получить и объяснить уже известные факты, но и сделать новые открытия (например, открытие Леверье в 1846 году планеты Нептун на основе анализа дифференциальных уравнений).

В настоящее время теория обыкновенных дифференциальных уравнений представляет собой сильно разветвленную теорию. Одними из основных задач этой теории являются существование у дифференциальных уравнений таких решений, которые удовлетворяют дополнительным условиям, единственность решения, его устойчивость.

Важными для приложений являются исследование характера решения,

нахождение методов численного решения уравнений. Теория должна дать в руки инженера и физика, экономиста, биолога методы экономного и быстрого вычисления решения.

Итак, первая черта теории дифференциальных уравнений – ее тесная связь с приложениями. Дифференциальные уравнения находятся как бы на перекрестке математических дорог. С одной стороны, новые важные достижения в топологии, алгебре, функциональном анализе, теории функций и других областях математики сразу же приводят к прогрессу в теории дифференциальных уравнений и тем самым находят путь к приложениям.

С другой стороны, проблемы физики, экономики и др., сформулированные на языке дифференциальных уравнений, вызывают к жизни новые направления в математике, приводят к необходимости совершенствования математического аппарата, дают начало новым математическим теориям, имеющим внутренние законы развития, свои собственные проблемы.

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д.

Такая значимость дифференциальных уравнений определила актуальность выбранной тему курсовой работы.

В данной курсовой работе мы уделим особое внимание одному из видов дифференциальных уравнений, а именно однородным дифференциальным уравнениям и их системам.

Целью данной работы является описание методов решения однородных дифференциальных уравнений и систем линейных однородных уравнений.

Для достижения поставленной цели в рамках работы необходимо решить следующие задачи:

1. провести анализ существующих источников и привести определения и теоретические сведения по дифференциальным уравнениям и системам дифференциальных уравнений,

2. представить методы решение однородных дифференциальных уравнений,

3. представить методы решение систем однородных дифференциальных уравнений

4. привести примеры решения.

Предмет исследования – методы решения однородных дифференциальных уравнений и систем однородных дифференциальных уравнений.

Объект исследования – однородные дифференциальные уравнения и системы однородных дифференциальных уравнений.

Информационная база исследования представлена учебно-методическими материалами по данной теме курсовой работы и материалами сети Интернет.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.